Ściąga

Zapis wzorów w LaTeX

Od ułamków po funkcje, ciągi i prawdopodobieństwo: przykłady do liceum, technikum i powtórek przed maturą. Skopiuj gotowy zapis albo sprawdź własny wzór w pracowni z podglądem na żywo.

Przejdź do symboli Otwórz pracownię

64 przykładów w 9 kategoriach, każdy z podglądem na żywo.

Trzy zasady zapisu

Zacznij od ukośnika

Polecenia zaczynają się od znaku \. Zwykłe litery, cyfry, + i = wpisujesz bez niego.

\sqrt{x}

Grupuj nawiasami

Nawiasy klamrowe { } łączą znaki w jedną całość. Nie pojawiają się w gotowym wzorze.

x^{a+b}

Wstaw wzór do tekstu

W ArcyMatmie otocz wzór znakami $…$. Dla wzoru w osobnym wierszu użyj $$…$$.

$x^2$

Pracownia wzorów

Wpisz kod i zobacz wzór obok. W pracowni nie trzeba otaczać kodu znakami $.

Podgląd na żywo

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Symbole i gotowe przykłady

Znajdź wzór, skopiuj kod i użyj go w swoim rozwiązaniu.

01Podstawy

Ułamek

Licznik w pierwszej parze nawiasów, mianownik w drugiej.

\frac{a}{b}

\frac{a}{b}

Potęga

Daszek podnosi do potęgi. Nawiasy grupują cały wykładnik.

x^{12}

x^{12}

Indeks dolny

Podkreślenie umieszcza indeks pod symbolem.

a_{n+1}

a_{n+1}

Pierwiastek kwadratowy

W nawiasach wpisz całe wyrażenie pod pierwiastkiem.

\sqrt{x+1}

\sqrt{x+1}

Pierwiastek stopnia n

Stopień pierwiastka podaj w nawiasach kwadratowych.

\sqrt[3]{8}=2

\sqrt[3]{8}=2

Nawiasy i ułamki

Polecenia left i right dopasowują wysokość nawiasów.

\left(\frac{a}{b}\right)^2

\left(\frac{a}{b}\right)^2

Przecinek dziesiętny

Przecinek otocz klamrami, aby LaTeX nie dodawał po nim odstępu.

2{,}5 + 0{,}75 = 3{,}25

2{,}5 + 0{,}75 = 3{,}25

Procent

Znak procentu poprzedź ukośnikiem: bez niego LaTeX potraktuje resztę wiersza jak komentarz.

25\% = \frac{1}{4}

25\% = \frac{1}{4}

Wartość bezwzględna

lvert i rvert tworzą pionowe kreski. Wartość bezwzględna to odległość liczby od zera.

\lvert -5 \rvert = 5

\lvert -5 \rvert = 5

Potęga ujemna

Cały ujemny wykładnik umieść w klamrach po daszku.

2^{-3}=\frac{1}{8}

2^{-3}=\frac{1}{8}

Notacja wykładnicza

Połącz przecinek dziesiętny, znak mnożenia i potęgę dziesiątki.

3{,}2 \cdot 10^5 = 320000

3{,}2 \cdot 10^5 = 320000

Jednostki

mathrm zapisuje jednostkę prostą czcionką. Polecenie \, dodaje mały odstęp.

P = 12\,\mathrm{cm}^2

P = 12\,\mathrm{cm}^2

02Działania i relacje

Mnożenie

Użyj kropki lub krzyżyka zamiast litery x.

a \cdot b \times c

a \cdot b \times c

Dzielenie

Polecenie div tworzy znak dzielenia.

12 \div 3 = 4

12 \div 3 = 4

Plus minus

Zapis oznacza dwie możliwości: 2 oraz −2.

x = \pm 2

x = \pm 2

Nierówności

leq oznacza mniejsze lub równe, geq — większe lub równe.

a \leq b \quad c \geq d

a \leq b \quad c \geq d

Różne i przybliżone

neq to różne od, a approx oznacza przybliżenie.

a \neq b \quad \pi \approx 3{,}14

a \neq b \quad \pi \approx 3{,}14

Wynikanie

Strzałka pokazuje, że z pierwszego zdania wynika drugie.

x=2 \implies x^2=4

x=2 \implies x^2=4

Równoważność

iff oznacza wtedy i tylko wtedy: oba zapisy opisują ten sam warunek.

2x=6 \iff x=3

2x=6 \iff x=3

03Greckie litery

Alfa, beta, gamma

Nazwę greckiej litery poprzedź ukośnikiem wstecznym.

\alpha,\ \beta,\ \gamma

\alpha,\ \beta,\ \gamma

Delta

Wielka litera w poleceniu daje wielką deltę.

\Delta = b^2-4ac

\Delta = b^2-4ac

Pi

Stałą pi zapisujemy poleceniem pi.

P = \pi r^2

P = \pi r^2

04Zbiory i przedziały

Zbiory liczb

mathbb tworzy charakterystyczne litery zbiorów liczbowych.

\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}

\mathbb{N},\ \mathbb{Z},\ \mathbb{Q},\ \mathbb{R}

Przynależność

in oznacza należy do zbioru, notin — nie należy.

x \in A \quad y \notin A

x \in A \quad y \notin A

Suma i część wspólna

cup łączy zbiory, cap wskazuje ich część wspólną.

A \cup B \quad A \cap B

A \cup B \quad A \cap B

Przedział otwarty

Zwykłe nawiasy oznaczają, że końce −2 i 3 nie należą do przedziału.

x\in(-2,3)

x\in(-2,3)

Przedział domknięty

langle i rangle tworzą nawiasy ostrokątne używane w polskich podręcznikach. Oba końce należą do przedziału.

x\in\langle -2,3\rangle

x\in\langle -2,3\rangle

Przedział półotwarty

Tutaj 0 należy do przedziału, ale 5 już nie. Możesz łączyć różne nawiasy.

x\in\langle 0,5)

x\in\langle 0,5)

Przedział nieskończony

infty tworzy symbol nieskończoności. Przy nieskończoności zawsze stawiamy nawias otwarty.

x\in(2,+\infty)

x\in(2,+\infty)

Zbiór rozwiązań

Aby klamry były widoczne we wzorze, poprzedź każdą ukośnikiem wstecznym.

x\in\{-2,2\}

x\in\{-2,2\}

Zbiór pusty i różnica zbiorów

setminus oznacza różnicę zbiorów, varnothing — zbiór pusty.

A\setminus A=\varnothing

A\setminus A=\varnothing

05Geometria

Kąt i stopnie

angle to symbol kąta, a circ w potędze daje stopnie.

\angle ABC = 60^{\circ}

\angle ABC = 60^{\circ}

Proste

parallel oznacza równoległość, perp — prostopadłość.

a \parallel b \quad c \perp d

a \parallel b \quad c \perp d

Wektor

vec i overrightarrow rysują strzałkę nad oznaczeniem.

\vec{v} = \overrightarrow{AB}

\vec{v} = \overrightarrow{AB}

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie prostokątnym a i b to przyprostokątne, a c — przeciwprostokątna.

a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=c^2

Pole trójkąta

Ułamek mnożymy przez podstawę a i wysokość h opuszczoną na tę podstawę.

P=\frac{1}{2}ah

P=\frac{1}{2}ah

Długość odcinka

Indeksy A i B przypisują współrzędne do punktów. Pierwiastek obejmuje całą sumę.

|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

|AB|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Objętość stożka

Połącz ułamek, pi i potęgę. r to promień podstawy, a h — wysokość stożka.

V=\frac{1}{3}\pi r^2h

V=\frac{1}{3}\pi r^2h

Podobieństwo trójkątów

triangle rysuje trójkąt, a sim oznacza podobieństwo figur.

\triangle ABC\sim\triangle DEF

\triangle ABC\sim\triangle DEF

06Funkcje i trygonometria

Trygonometria

Polecenia sin i cos zapewniają poprawny krój nazw funkcji.

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Logarytm

Podstawę logarytmu zapisz jako indeks dolny.

\log_{2} 8 = 3

\log_{2} 8 = 3

Funkcja liniowa

Nazwę funkcji i jej argument wpisz bez specjalnych poleceń.

f(x)=2x-3

f(x)=2x-3

Postać kanoniczna

Nawias obejmuje całe wyrażenie podnoszone do kwadratu. Wierzchołek tej paraboli to (1, −3).

f(x)=2(x-1)^2-3

f(x)=2(x-1)^2-3

Dziedzina funkcji

Połącz indeks, zbiór liczb rzeczywistych i różnicę zbiorów, np. dla f(x) = 1/(x − 2).

D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}

D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}

Funkcja określona przedziałami

cases rozdziela wzór na przypadki, znak & wyrównuje warunki, a text pozwala dodać słowa.

f(x)=\begin{cases}x&\text{dla }x\geq 0\\-x&\text{dla }x<0\end{cases}

f(x)=\begin{cases}x&\text{dla }x\geq 0\\-x&\text{dla }x<0\end{cases}

Tangens po polsku

operatorname pozwala zapisać polski skrót tg. Iloraz ma sens, gdy cosinus jest różny od zera.

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}

Sinus kąta szczególnego

Połącz nazwę funkcji, znak stopni i ułamek.

\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}

\sin 30^{\circ}=\frac{1}{2}

07Równania i algebra

Równanie liniowe

Litery, liczby i działania wpisz wprost. Polecenia potrzebujesz tylko do strzałki.

3x-6=0 \iff x=2

3x-6=0 \iff x=2

Układ równań

cases dodaje wspólną klamrę. Dwa ukośniki wsteczne rozdzielają wiersze układu.

\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}

\begin{cases}x+y=5\\x-y=1\end{cases}

Kwadrat sumy

Wzór skróconego mnożenia zapiszesz za pomocą zwykłych nawiasów i potęg.

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2

Różnica kwadratów

Nawiasy stojące obok siebie oznaczają mnożenie.

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

a^2-b^2=(a-b)(a+b)

Pierwiastki równania kwadratowego

Połącz indeks, ułamek i pierwiastek. Ten wzór stosujemy dla a ≠ 0 i delty nieujemnej.

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}

Wzory Viète’a

Indeksy 1 i 2 oznaczają pierwiastki równania ax² + bx + c = 0; a ≠ 0.

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

x_1+x_2=-\frac{b}{a}

08Ciągi

Wyraz ciągu

Podkreślenie tworzy indeks n. quad wstawia odstęp przed warunkiem.

a_n=2n+1,\quad n\geq 1

a_n=2n+1,\quad n\geq 1

Ciąg arytmetyczny

Indeksy odróżniają pierwszy i n-ty wyraz, a r oznacza różnicę ciągu.

a_n=a_1+(n-1)r

a_n=a_1+(n-1)r

Suma ciągu arytmetycznego

W liczniku umieść sumę pierwszego i ostatniego z n wyrazów.

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

S_n=\frac{a_1+a_n}{2}\cdot n

Ciąg geometryczny

Wykładnik n − 1 musi znaleźć się w jednej parze klamer; q to iloraz ciągu.

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

a_n=a_1\cdot q^{n-1}

Zapis rekurencyjny

Klamry grupują indeks n + 1. Każdy kolejny wyraz otrzymujemy, dodając 3.

a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+3

a_1=2,\quad a_{n+1}=a_n+3

09Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo klasyczne

Omega oznacza zbiór wyników, a kreski — liczbę elementów. Wzór dotyczy skończonej puli jednakowo prawdopodobnych wyników.

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}

Zdarzenie przeciwne

Apostrof oznacza zdarzenie przeciwne. Zamiast niego można też użyć polecenia overline nad A.

P(A')=1-P(A)

P(A')=1-P(A)

Silnia

Silnia to zwykły wykrzyknik zapisany po liczbie.

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120

5!=5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1=120

Symbol Newtona

binom tworzy dwie liczby w nawiasie, bez kreski ułamkowej. Tu liczymy wybory 2 elementów spośród 5.

\binom{5}{2}=10

\binom{5}{2}=10

Średnia arytmetyczna

overline rysuje kreskę nad x, a dots dodaje wielokropek.

\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}

\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}

Średnia ważona

Pomnóż każdą wartość przez jej wagę, a sumę podziel przez sumę wag.

\overline{x}=\frac{2\cdot3+3\cdot5}{2+3}=4{,}2

\overline{x}=\frac{2\cdot3+3\cdot5}{2+3}=4{,}2